คณิตศาสตร์

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก a ว่า

ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca

พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ 15x2y – 18xy2 โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

15x2y – 18xy2 = 3(5x2y – 6xy2) [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]
= 3x(5xy – 6y2) [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2]

= 3xy(5x – 6y) [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy และ 6y2]

ดังนั้น 5x2y – 18xy2 = 3xy(5x – 6y)

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2

วิธีทำ 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)
= x(5y + 6x)

ข้อสังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2 ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y2z + 20yz

วิธีทำ 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

= 4yz(3y + 5)

ข้อสังเกต 4yz เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2z และ 20yz ดึง 4yz ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 16x3y3 – 24x4y

วิธีทำ 16x3y3 – 24x4y = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)

= 8x3y(2y2 – 3x)

ข้อสังเกต 8x3y เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x3y3 และ 24x4y ดึง 8x3y ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ข้อควรระวัง

1. ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ

2. ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด

3. ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด
4. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ ab -2ac + bc -2c2

วิธีทำ ab -2ac + bc -2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)

= a(b – 2c) + c(b – 2c)

= (b – 2c)(a + c)

ดังนั้น ab -2ac + bc -2c2 = (b – 2c)(a + c)

ข้อสังเกต 1. a , c เป็นตัวประกอบร่วม

2. b – 2c เป็นตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2

วิธีทำ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2 + 5yz – 3y

= (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)

= x2(5z – 3) + y(5z – 3)
= (5z – 3)(x2 + y)

ดังนั้น 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z – 3) (x2 + y)

ข้อสังเกต 1. x2 , y เป็นตัวประกอบร่วม

2. 5z – 3 เป็นตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2

วิธีทำ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = mr2– 3mp – 5nr2+ 15np

= (mr2– 3mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]

= m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)
= (r2 – 3p)(m – 5n)

ดังนั้น mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = (r2 – 3p)(m – 5n)

ข้อสังเกต 1. m , 5n เป็นตัวประกอบร่วม

2. r2 – 3p เป็นตัวประกอบร่วม